Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

El movimimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidadno cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no tiene aceleración tangencial ni aceleración angular,  aunque sí aceleración normal.

Características del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Algunas de las prinicipales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes:

1. La velocidad angular es constante (ω = cte)
   
2. El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal
   
3. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante
4. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.)
5. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo.

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Ecuaciones del M.C.U.

Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son las siguientes:

$$\phi ={\phi }_0+\omega ·t$$

$$\omega =\text{constante}$$

$$\alpha =0$$

Donde:

• $\phi$, ${\phi }_0$: Posición angular del cuerpo en el instante estudiado y posición angular del cuerpo en el instante inicial respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacion (S.I.) es el radián (rad)
• $\omega$: Velocidad angular del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo (rad/s)
• $\alpha$: Aceleración angular. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián por segundo al cuadrado (rad/s2)

Relación entre Magnitudes Angulares y Lineales

Podradio R.emos relacionar las magnitudes angulares y lineales en los movimientos circulares a través del 

Magnitud Lineal	Relación	Magnitud Angular
espacio recorrido (s)	s=φ⋅R	φ
velocidad lineal (v)	v=ω⋅R	ω
aceleración tangencial (at)	at=α⋅R	α
aceleración normal (an)	an=v2R=ω2⋅R	-

          Formulas:

Período y Frecuencia en el M.C.U.

El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es decir, se repite cada cierto tiempo con iguales características. Esto nos permite definir las siguientes magnitudes:

• Período: Se trata del tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se representa por T y se mide en segundos (s). Su expresión viene dada por:
  
  

  T=2π/ω
• Frecuencia: Se trata del número de vueltas que el cuerpo da en cada segundo. Se representa por f y se mide en la inversa del segundo (s-1) , que también se denomina hercio (Hz). Su expresión viene dada por:
  
  

  f=ω2⋅π

La frecuencia es la inversa del período. Relacionando frecuencia, período y velocidad angular mediante las expresiones anteriores, por tanto, nos queda:

f=1/T

ω=2⋅πT=2⋅π⋅f

Finalmente recuerda que la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal nos permite escribir la última de nuestras expresiones que relaciona velocidad angular, velocidad lineal, período, frecuencia y radio en el movimiento circular uniforme (m.c.u.):

v=ω⋅R=2⋅πT⋅R=2⋅π⋅f⋅R

No olvides que el concepto de frecuencia y de período sólo tiene sentido en los movimientos períodicos, así, en el movimiento circular uniformemente acelerado, por ejemplo, no tiene sentido hablar de frecuencia o de período.

Ejercicios de Movimiento Circular Uniforme:

1) Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su periodo y frecuencia. 

2)Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodod) su frecuencia. 

3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración normal para este último.

4) Un MCU tiene una frecuencia de 60 herzios. Calcula: a) su velocidad angular b) su periodo c) su velocidad angular en revoluciones por minuto.

 5) Si el periodo de un MCU se duplica, ¿qué ocurre con... a) ...su velocidad angular? b) ...su frecuencia? c) ...su aceleración normal? 

Soluciones:

 1)Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su periodo y frecuencia.

 Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo, solo tenemos que recordar que una vuelta entera (360º, una revolución) equivale a 2π radianes (o que media vuelta, 180º, son π radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres: 

1 vuelta → 2π radianes

 90 vueltas → x radianes x = 180 π radianes 

180 π radianes→ 60 segundos 

x radianes → 1 segundo    x = 3 π radianes/segundo

 Ya tenemos la velocidad angular (ω). El periodo (T) se saca mediante la fórmula:

 ω = 2π / T

 T = 2π /3π = 2/3 s

 La frecuencia (f) es la inversa del periodo:

 f = 1/T

 f = 3/2 s-1

 2) Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia.

 El apartado a) se resuelve igual que el ejercicio anterior:

 1 vuelta → 2π radianes

 200 vueltas → x radianes x = 400π radianes 

400π radianes → 60 segundos

 x radianes → 1 segundo       x = 20π/3 radianes/segundo

 b) Para sacar la velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el radio (en metros). Esto vale para calcular cualquier magnitud lineal a partir de la angular.

 v = ω·R

 v = 20π/3·0,8 = 16,76 m/s 

c) Ya vimos en el ejercicio anterior cómo calcular el periodo a partir de la velocidad angular: 

ω = 2π / T

T = 2π /(20π/3) = 3/10 s 

d) La frecuencia, acuérdate, es la inversa del periodo

: f = 1/T = 10/3 s-1 

3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración normal para este último.

 La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro. Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo modo que en ejercicios anteriores, verás que el resultado es de π radianes/segundo. 

Pero la velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que esté más hacia fuera debe recorrer un círculo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales, multiplicamos las angulares por los respectivos radios:

 caballito 1: v = π · 1,5 = 4,71 m/s

 caballito 2: v = π · 2 = 6,28 m/s 

Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada "normal" que es la responsable de que el objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal al cuadrado divivida entre el radio: 

an = v2 /R = 6,282 /2 = 19,74 m/s2

 4) Un MCU tiene una frecuencia de 60 herzios. Calcula:

 a) su velocidad angular

 b) su periodo 

c) su velocidad angular en revoluciones por minuto.

 En primer lugar, medir la frecuencia en herzios es lo mismo que medirla en segundos-1, así que no pienses que eso cambia nada. A partir de la frecuencia, podemos sacar directamente el periodo, y luego la velocidad angular (respondemos primero al apartado b y luego al a)

 T = 1/f = 1/60 s

 ω = 2π / T = 2π / (1/60) = 120π rad/s 

Para resolver el c planteamos la regla de tres como en los dos primeros ejercicios, pero con la incógnita "en otro lado": 

360º → 2π rad 

x → 120π rad   x = 21600π rad/s

21600π rad → 1 segundo 

x rad → 60 segundos   x = 1296000π rad/s 

5) Si el periodo de un MCU se duplica, ¿qué ocurre con... 

a) ...su velocidad angular? b) ...su frecuencia?

 c) ...su aceleración normal?

 Este es un típico ejercicio en donde tenemos que operar "sin datos". En realidad no es que falten datos, sino que tenemos que calcular lo que nos piden en función de otras magnitudes. Por ejemplo...

a) ... la velocidad angular. 

La fórmula era 

ω = 2π / T

 Si en vez de T hubiese 2T (porque el periodo se duplica) ¿cómo queda la nueva velocidad angular? 

ω' = 2π / 2T = π / T rad/s 

O, lo que es lo mismo, se queda a la mitad de lo que era originalmente.

b) ...su frecuencia. La frecuencia es la inversa del periodo, por lo que si el periodo se duplica:

 f = 1/T

 f ' = 1/2T s-1 

La frecuencia se ve reducida a la mitad.

 d) La aceleración normal depende de la velocidad lineal y del radio. Duplicar el periodo no afecta al radio ni a la velocidad lineal, por lo que la aceleración normal no cambia.